Modelado del 70521 en Multisim

 

Para diseñar circuitos electrónicos con motores eléctricos es interesante poder modelizarlos en el simulador.

En Multisim podemos acceder a los motores eléctricos con la opción "Place - Component - Electro Mechanical". En "Machines" elegiremos "Máquina de corriente continua (DC) con imán (Magnet) permanente", como es el 70521:

Los terminales con signos (+ y -) son para conectar el motor a la fuente de alimentación y a tierra:

El terminal sin título es para conectar una carga a la que podemos acceder mediante la opción "Mechanical Loads"; después elegiremos una "carga arbitraria". Se puede introducir el valor de la velocidad a la que queremos que gire la carga en radianes por segundo (por defecto en miliradianes por segundo), o el valor del par de giro de la carga en Newtons metro, o el valor de la potencia:

Los terminales Te, 𝞡, y Ea son terminales de medida del torque electromagnético (Te), del desplazamiento angular del eje del motor (𝚹 ) y de la fuerza contraelectromotriz generada por el motor (Ea).

Por ahora obviaremos estos terminales de medición y consideraremos al motor sin ningún tipo de carga.

A continuación pondremos un ejemplo de motor eléctrico de imán permanente conectado a una pila de 3 v en el simulador:

Si ahora realizamos doble click sobre el motor, se nos abrirá una ventana pidiéndonos diferentes valores que tendremos que introducir. Hemos elegidos unos valores en concreto para en este caso observar mejor la variación de la corriente en los primeros instantes de tiempo cuando se pone en marcha el motor.

A continuación analizaremos una simulación en el tiempo ("Transient analysis"):

 

Elegimos como condiciones iniciales las definidas por el usuario ("User-defined") y como variable de salida ("Output") la intensidad de corriente.

Al darle a "Simulate", obtenemos los valores de la corriente que circula por el circuito en función del tiempo:

Observamos un pico de intensidad de corriente inicial, 2,3 A en este ejemplo. Este valor es la corriente  que se denomina corriente in-Rush, corriente de irrupción, corriente de entrada, o corriente transitoria de excitación

Ahora determinaremos los valores que debemos introducir en la ventana del motor para simular el funcionamiento de nuestro 70521:

Para determinar la inductancia, podemos utilizar directamente un inductómetro:

En este caso 0,69 miliHenrios.

Para la resistencia, un ohmímetro:

2,7 𝛀 en este caso.

En cuanto a la constante de velocidad ("Speed constant"), ésta se refiere a la constante de fuerza contraelectromotriz (Ke) en Voltios por radianes por segundo (v/rad/s), que representa la relación entre la fuerza contraelectromotriz del motor y su velocidad angular:

FCEM = 𝛚 x Ke

Recordemos que el Voltaje de la fuente de alimentación se "consume" en la resistencia del hilo de cobre de las bobinas del motor (I x R), en el fenómeno de autoinducción que se produce en la bobina del motor al variar la intensidad de corriente en el momento en el que empieza a fluir la corriente por ella (L dI/dt) y en la fuerza contra-electromotriz que se genera al moverse las espiras de las bobinas de cobre en el seno del campo magnético del imán del motor (FCEM):

V - (I x R) - L (dI/dt) - FCEM = 0 

Si dejamos funcionar el motor durante unos segundos para que se estabilice, la corriente no variará en el tiempo y se anulará el fenómeno de la autoinducción de las bobinas, siendo L (dI/dt) = 0.

Por lo que nos quedará:

V - (I x R) - (𝝎 x Ke) = 0

Despejando:

Si nos fijamos en las características técnicas del 70521 ofrecidas por el fabricante, vemos que sin carga y a 3 voltios, la corriente es de 160 mA y que la velocidad angular (𝛚) es de 11000 RPM (revoluciones por minuto). 

Características electromecánicas del 70521

Además, la resistencia ya la hemos determinado con el polímetro (2,7 ohms).

Lo primero que haremos será pasar RPM a radianes por segundo. 

Así, si el motor da 11000 vueltas en 60 segundos (1 minuto), en 1 segundo dará 183,33 vueltas.

Y como ya hemos visto, una vuelta son 360º o 2𝛑 radianes o 6,2831 radianes, por lo que 183,33 vueltas serán 1151,88 radianes. 

Entonces 11000 RPM son 1151,88 rad/s.

Con todos estos datos:

El siguiente valor a calcular es la constante de par ("Torque constant") en Newtons metro por Amperio (Nm/A). Representa la relación existente entre el par o torque mecánico y la corriente eléctrica.

𝛕 = I Kt

Despejando:

En estos motores eléctricos  Ke = Kt , así que consideraremos  Kt = 0,0022 Nm/A

Lo siguiente a calcular es el momento de inercia ("Shaft inertia") en kilogramos metro al cuadrado.

Ya se ha explicado que el momento de inercia mide la inercia de rotación de un cuerpo respecto a un eje y se define como la suma de los productos de las masas de cada una de las partículas de dicho cuerpo por el cuadrado de la distancia de cada partícula al eje de rotación. Indica la resistencia de un cuerpo a adquirir aceleración angular y refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación respecto a un eje de giro. Sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.

En el caso de un cilindro que rota alrededor de su eje longitudinal:

Para calcularlo vamos a desmontar el motor:

Podemos ver la tapa de plástico con las conexiones de los cables a las escobillas, el rotor con las bobinas de hilo de cobre y sus delgas y la carcasa con los imanes permanentes.

A continuación pesaremos el rotor y mediremos su diámetro.

Con una báscula de precisión obtenemos 7,3 gramos:

Con un calibre obtenemos 13 mm de diámetro:

7,3 gramos son 0,0073 kilogramos.

13 mm de diámetro con 6,5 mm de radio, o 0,0065 metros de radio; por lo que el momento de inercia (J) serán 0,0000001542 Kg m².

Por último, calcularemos el coeficiente de fricción ("Shaft friction") en Nm/rad/s:

Representa la oposición al movimiento del rotor cuando el motor gira a una determinada velocidad angular. Cuanto mayor es la velocidad angular, menor es la oposición al movimiento de rotación del rotor debido a la inercia. Pero cuanto mayor es el par mecánico (Tm) que debe vencer el motor debido a la carga externa, mayor es la oposición al movimiento y mayor es el coeficiente de fricción. 

En este último aspecto, se debe restar al torque mecánico (Tm) el torque de fricción (Tf), el cual representa el par que debe vencer el motor cuando se arranca debido a la fricción de sus propios componentes internos.

Podemos determinar el coeficiente de fricción (B) del motor mediante un procedimiento gráfico.

Para ello, primero recordaremos que el torque mecánico (Tm) es igual al producto de la corriente por la constante de par:

Tm = I x Kt

Así que sustituyendo en la ecuación inicial:

Si reorganizamos términos:

I Kt = B 𝛚 + Tf

Y por último:

Decir que el torque de fricción (Tf) representa el par con el que la mínima corriente eléctrica puede hacer girar al motor. Esta corriente se denomina corriente de arranque (Iarr) y nada tiene que ver con la corriente pico, corriente in Rush, o corriente de irrupción que consume el motor al iniciar su funcionamiento.

El torque de fricción (Tf) viene dado por la expresión:

Tf = Iarr x Kt

Donde Kt es la constante de par o de torque, que ya habíamos calculado previamente: 0,002217 Nm/A .

Así que nos quedaría que:

Esta ecuación se puede equiparar con la ecuación de una recta:

y = m x + b

En donde "m" es la pendiente de la recta y "b" es la ordenada en el origen.

Si consideramos la corriente eléctrica "I" como si fuera "y", "B/Kt" como si fuera "m", la velocidad angular "𝛚" como "x" y la corriente de arranque "Iarr" como "b", tendríamos la ecuación de la recta:

I = m 𝛚 + b

Recordar que la pendiente de una recta viene dada por el cociente de lo que varía "y" entre lo que varía "x":

De esta forma, si conocemos 2 puntos de la recta, podemos calcular su pendiente mediante:

Si consideramos que a 130 mA el motor gira a 5400 RPM y que a 160 mA el motor gira a 11000 RPM, según las características técnicas del fabricante para el 70521, ya tenemos los 2 puntos necesarios para representar la recta.

Así que para hallar la pendiente de la recta:

O mejor radianes por segundo, en vez de Revoluciones Por Minuto:

Y como ...

... pues   B =  0,00005116 A/rad/s  x  0,002217 Nm/A  =  1,134 x 10 ⁻⁷

Además, de la ecuación inicial ...

... podemos obtener el valor del torque de fricción (Tf):

Tf  =  0,000224 Nm

Recordamos que:

Tf = Iarr x Kt

Por lo que:

Así que  Iarr  =  0,000224 Nm / 0,002217 Nm/A  = 0,1 A

Como se puede ver en la gráfica:

Así, si montamos el siguiente circuito en el simulador con únicamente una batería de 3,37 voltios y un motor de imanes permanentes, podemos modelizar este último con los valores determinados previamente para un 70521 a 3 voltios. Vemos que el multímetro nos marca 157,926 mA. 

157,926 mA es la corriente que "consume" el motor cuando funciona de manera estable a 12789 RPM (1338 rad/s), valor muy cercano a los 170 mA obtenidos en la entrada anterior.

Por último, si montamos un circuito en el simulador con una batería de 3,04 voltios y un motor eléctrico de imanes permanentes, igualmente podemos modelizar este último con los valores determinados previamente para un 70521 a 3 voltios. En este caso vemos que el multímetro nos marca 1,392 A. 

1,392 A es la corriente que "consume" el motor cuando funciona de manera ocasional y durante unos pocos segundos contra un torque máximo de 32 gf cm (0.0031 Nm). Este valor es muy cercano a los 1,48 A obtenidos en la entrada anterior, corriente que se corresponde con la corriente de bloqueo o corriente "stall", corriente pico, corriente in Rush, o corriente de irrupción que consume el motor en el momento en que se conecta a la batería.

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